【数列の極限の定義】イプシロン-エヌ論法の具体例を紹介

面白い数学

こんにちは。福田泰裕です。

高校の数学Bで数列を学習し、数学Ⅲで数列の極限まで発展します。
そこで出てくるのが「数列の収束」です。

実は、この高校で学習する数列の収束は厳密な定義を隠して何となくのイメージだけで進めているのです。

今回は、数列の収束の定義について解説していきます。

最後まで読んでいただけると嬉しいです。

数列の収束の定義

note

高校の数学Ⅲで学習する数列の収束の定義は、次のようなものです👇

\(n\) を限りなく大きくするとき、 \(a_n\) が一定の値 \(\alpha\) に限りなく近づくとき、
「数列 \(\left\{ a_n \right\}\) が極限値 \(\alpha\) に収束する」という。

この「限りなく大きく」や「限りなく近づく」という表現は高校の極限でよく出てきますが、なんとも曖昧な表現です。
どこからが限りなく大きい数と言えるのでしょうか?
どこまで近づけば限りなく近づいたと言えるのでしょうか?
分かりませんよね。

大学で数学を専攻すると、このような曖昧な表現は出てきません。
代わりに、数列の収束の定義が次のように変わります👇

任意の正の数 \(\epsilon\) に対して、ある番号 \(N\) を決めると、
\(n>N\) となるすべての \(n\) について \(|a_n – \alpha| < \epsilon\)
となるとき、
「数列 \(\left\{ a_n \right\}\) が極限値 \(\alpha\) に収束する」という。

「限りなく大きく」や「限りなく近づく」という表現はなくなりました。

しかし、何を言っているのかまったく分からないと思います。

簡単に言うと、どんな正の数 \(\epsilon\) を選んでも、\(n>N\) となるすべての \(n\) について \(|a_n – \alpha| < \epsilon\) …つまり、極限値 \(\alpha\) との差が \(\epsilon\) 未満となるような \(N\) を見つけることができれば良いのです。

このように、数列の収束には \(\epsilon\) と \(N\) を使って証明するので、この証明を「イプシロン-エヌ論法」といいます。

イプシロン-エヌ論法で数列の収束を証明しよう

note

とは言っても、上の説明で理解できる人は多分いないでしょう 笑
例題を解きながら解説していきます。

【例題】

数列 \(\displaystyle a_n = \frac{1}{n}\) の極限値が \(0\) であることを示せ。

高校までは、こんなことは「当たり前」ということで証明しません。

分母が無限に大きくなって、分子は1のまま。
分母の方が圧倒的に大きいから、極限値は 0 です!

と、この説明で十分です。

しかし、大学の数学ではこのような曖昧な表現は許されません。
エプシロン-エヌ論法で証明してみましょう。

具体例で考えてみよう

イプシロン-エヌ論法とは、 どんな正の数 \(\epsilon\) を選んでも、\(n>N\) となるすべての \(n\) について \(|a_n – \alpha| < \epsilon\) となるような \(N\) を見つけることができれば良いのでしたね。

今回の極限値は \(\alpha = 0\) なので、
どんな正の数 \(\epsilon\) を選んでも、\(n>N\) となるすべての \(n\) について

$$\left|\frac{1}{n} \right| < \epsilon$$

となるような \(N\) を見つけることができれば良いのです。

まず、\(\epsilon = 0.1\) で考えてみましょう。

このように、\(\displaystyle \frac{1}{n}\) はどんどん小さくなっています。
それでは、何番より先が 0.1 未満になるでしょうか?

そう、だんだん小さくなっていくので、\(n >10 \) では \(\displaystyle \frac{1}{n} < 0.1\) が成り立ちます。
つまり、\(\displaystyle \epsilon = \frac{1}{10}\) のときは \(N=10\) とすれば、\(n>N=10\) となるすべての \(n\) において
$$ \left|\frac{1}{n} \right| < \epsilon = \frac{1}{10} $$
が成り立ちます。

それでは、 \( \displaystyle \epsilon = \frac{1}{100} \) ではどうでしょうか。

今度は \(n >100 \) のとき \(\displaystyle \frac{1}{n} < \frac{1}{100} \) が成り立ちます。
つまり、\( \displaystyle \epsilon = 0.01\) のときは \(N=100\) とすれば、\(n>N=100\) となるすべての \(n\) において
$$ \left|\frac{1}{n} \right| < \epsilon = \frac{1}{100} $$
が成り立ちます。

それでは、 \( \displaystyle \epsilon = \frac{1}{1000} \) ではどうでしょうか。

今度は \(n >1000 \) のとき \(\displaystyle \frac{1}{n} < \frac{1}{1000} \) が成り立ちます。
つまり、\( \displaystyle \epsilon = 0.001\) のときは \(N=1000\) とすれば、\(n>N=1000\) となるすべての \(n\) において
$$ \left|\frac{1}{n} \right| < \epsilon = \frac{1}{1000} $$
が成り立ちます。

逆数にすれば良いの?

と考えるかもしれませんが、そんな単純でもないのです。
数列の番号は自然数なので、逆数が通用しない場合もあります。

それでは最後の例として、 \( \displaystyle \epsilon = \frac{3}{10000} \) ではどうでしょうか。

今度は \(n >3333 \) のとき \(\displaystyle \frac{1}{n} < \frac{3}{10000} \) が成り立ちます。
つまり、\( \displaystyle \epsilon = \frac{3}{10000} \) のときは \(N=3333\) とすれば、\(n>N=3333\) となるすべての \(n\) において
$$ \left|\frac{1}{n} \right| < \epsilon = \frac{3}{10000} $$
が成り立ちます。

このときの \(N\) は、

$$\epsilon = \frac{3}{10000} $$

の逆数

$$ \frac{10000}{3} = 3333.3‥‥‥ $$

の整数部分を \(N\)としているのです。
実際に代入する \(n\) は \(N\) の次から始まるので、式が成り立つのです。

この調子でいけば、\(\epsilon\) をどこまで小さくしても、境目である \(N\) を見つけることができそうです。
しかし \(\epsilon\) の値の選び方は無限にあるので、すべてに具体的な \(N\) を示すわけにはいきません。

そのため、証明は次のように行います。

【証明】

任意の正の数 \(\epsilon\) において、自然数 \(N\) を

$$ N = \left\lfloor \frac{1}{\epsilon} \right\rfloor +1 $$

とする。このとき、

$$ \left\lfloor \frac{1}{\epsilon} \right\rfloor +1 > \frac{1}{\epsilon}$$

であるから、\(n>N\) を満たす任意の自然数 \(n\) において、

$$ \left| \frac{1}{n} \right| = \frac{1}{n} < \frac{1}{N} = \frac{1}{\left\lfloor \frac{1}{\epsilon} \right\rfloor +1} < \frac{1}{\frac{1}{\epsilon}} = \epsilon $$

が成り立つ。
よって、数列 \(\displaystyle \frac{1}{n}\) は極限値 \(0\) に収束する。

は?

と思われたかもしれませんが、これで証明は終わりです。

簡単に言えば、
どんな \(\epsilon\) を選んでも、\(\displaystyle N = \left\lfloor \frac{1}{\epsilon} \right\rfloor +1 \) とすれば、\(n>N\) を満たすすべての自然数 \(n\) において、\(\displaystyle \left|\frac{1}{n}\right| < \epsilon\) が成り立つということです。

これで、無限にある \(\epsilon\) の選び方に対して \(N\) の決め方を定めたので、どんな \(\epsilon\) を持ってきても、それに対応する \(N\) を決めることができる、ということです。

まとめ:イプシロン-エヌ論法は静的なイメージ

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いかがでしたでしょうか。

高校での数列の収束というのは、「 \(n\) が大きくなると、極限値 \(\alpha\) に近づく」という動的なイメージだったのに対して、イプシロン-エヌ論法は「極限値 \(\alpha\) に、誤差 \(\epsilon\) より近づくのは、\(N\) 番目より先」という静的なイメージに変わります。

高校までの数列の収束とは考え方がまったく異なるので、なかなかイメージしにくいかもしれません。
しかし、厳密な証明方法を知ることで、高校での極限の考えを学ぶ際に役に立つことがあるかもしれませんね。

最後まで読んでいただき、ありがとうございました!

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