【教科書の落とし穴】定義と定理の違い

面白い数学

こんにちは。福田泰裕です。

中学校で図形を学習する際に、「定義」と「定理」という言葉が出てきます。
この2つの単語はどちらも図形の性質を表しているので、区別がつかない生徒が多いようです。
でも実は、大きく違う意味を持っているのです。

今回は、定義と定理の違いについて解説していきます。

最後まで読んでいただけると嬉しいです。

定義と定理の違いとは?

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定義と定理の違いとは一体何なのでしょう。
辞書で調べてみると・・・

【定義】

ある概念内容・語義や処理手続をはっきりと定めること。それを述べたもの。

【定理】

公理・定義だけから論理的に導き出せる(一般的)命題。

違いが分かりましたか?

簡単に言うと、
【定義】はルール、【定理】は定義から導かれるもの
です。

いくつかの例を見ていきましょう。

定義と定理の違いの例:三角形

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まず三角形を例に、定義と定理の違いを解説していきます。

三角形の【定義】

まず聞きますが、三角形とは何ですか?

三角形とは「同一直線上にない3点と、それらを結ぶ3つの線分からなる多角形」です。
このように、「三角形とは何か?」に対する答えが、「三角形の定義」です。

いわば「こういうものを三角形と決めましょう」というルールです。
そのため「なぜ3本の線分で囲まれた図形を三角形と呼ぶのですか?」と聞かれても、それは証明できません。
だって、それが三角形ですから。

定義とはこのように、「〇〇とは?」に対する答えなのです。

三角形の【定理】

3本の線分を引いてできた図形を三角形と定義しました。

この定義に従って三角形を描いてみると、様々な性質が見つかります。

有名なもので言えば「中点連結定理」です。
2辺の中点を結ぶと、残りの1辺の長さの半分になります。
定義に従ってできた三角形から見つかったものなので、これは定理です。

「なんで2辺の中点を結ぶと、のこりの1辺の長さの半分になるの?」と聞かれたら、それは証明できます。
定義と違い、定理は証明によって導かれるものなのです。

二等辺三角形の【定義】と【定理】

定義に従って三角形を描いてみると、ある特殊な場合に出会います。

3辺のうち、2辺の長さが等しくなる三角形を描くことができました。
昔の人は、これを二等辺三角形と呼ぶように決めました。
この「2辺が等しい三角形」は、二等辺三角形の定義です。

そして、この「2辺が等しい二等辺三角形」には、様々な性質が見つかりました。

① 2つの底角が等しい。
② 頂角の二等分線は底辺を垂直に2等分する。
③ 底辺の垂直二等分線は頂角を2等分する。

これらはすべて定義に従って描いた二等辺三角形から見つかった性質なので、定理です
定理なので、すべて証明することができます。

まとめ:定義から導かれたのが定理

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いかがでしたでしょうか。

今回の記事をまとめると、次のようになります。

まとめ

【定義】はルール、【定理】は定義から導かれるもの

「二等辺三角形って何?」に対する答えは、「2辺が等しい三角形」で、これは定義です。
定義に従って描かれた二等辺三角形を調べていく中で見つかる性質(底角が等しい、など)は、定理です。
定義は証明できない、定理は証明できる、というのも違いの一つです。

定義と定理の違いをしっかり覚えて、間違って使い事のないようにしましょう。

最後まで読んでいただき、ありがとうございました!

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