【数学クイズ】南、東、北へ1kmずつ進み、元の場所に戻るのはどこ?

面白い数学

こんにちは。福田泰裕です。

今回は、楽しい数学クイズを出題します。

最後まで読んでいただけると嬉しいです。

数学クイズ:南、東、北へ1kmずつ進み、元の場所に戻るのはどこ?

それでは、問題です。

問題

南へ1km、東へ1km、北へ1kmずつ進み、元の場所に戻るのはどこか。

ちなみに、答えは1か所ではありません

何か所あるか考えてから、次に進んでみてください!

ヒント①:平面で考えるとダメ

この問題は、平面で考えるとダメです。
普通に南、東、北へ1kmずつ進めば…👇

ground

このように、元の場所に戻ることはできません。

この問題は平面で考えていてはダメなのです。
つまり…?

ヒント②:方角とは?

問題文に、南、東、北という方角が出てきました。
これらの方角は、どうやって決まるのでしょうか。

「北」をWikipediaで調べてみると…

北(きた)は、地表に沿って北極点に向かう方位。

Wikipedia 「北」

と書かれています。

なるほど、「北」とは北極点に向かう方向なのですね…

解答:地球規模(球面)で考えよう

これらのヒントから、この問題は地球規模(球面)で考える方が良さそうです。
普通に南、東、北へ進んでも元に戻れないので、特別な点で考えてみましょう。

解答その1:北極点

まず1つ目の答えは、北極点です。

北極点からスタートして、南、東、北へそれぞれ1kmずつ進むと、下のような経路になります👇

earth

確かに、元の場所に戻ることができましたね!

解答その2:南極点の近く

北極点を思いついた人は、まあまあ頭が柔らかい人だと思います。
そこで、北極にあるなら南極にはないのかな?と考えませんでしたか?

しかし南極点からスタートすると、最初の「南へ1km」で困ってしまいます。
南極点にいるときは、それ以上南へ進むことができません

earth

そのため、南極点からスタートしてはいけません。

じゃあ南極には無いのかな‥‥‥と考えるかもしれませんが、実はあります
次のような経路をたどれば良いのです👇

earth

東へ1km進んだとき、地球を1周して元の位置に戻ることができれば、北へ1km進んでスタート地点に戻ることができます。

では、このスタート地点は一体どこなのでしょうか。
南極点の周りを抜き出すと、下のようになります👇

earth

東へ1km進む際の円の半径を \(r\) [km]とすると、円周は1kmなので、

\(2\pi r = 1\)

という式が成り立ちます。
よって、
$$r = \frac{1}{2 \pi}$$
となります。

つまり、南極点から北へ \(\displaystyle 1+\frac{1}{2 \pi}\) [km]進んだ地点となります。

earth

この赤線上のどこかからスタートすれば、南極点を1周まわって戻ることができます。

しかし、実はまだあります

上の説明では「東に1km」で「南極点の周りを1周」しました。
しかし、「東へ1km」で南極点の周りを2周しても同じ結果になります。

earth

ということは、3周しても、4周しても同じ結果になりそうです。
全部まとめて、「東へ1km」で「南極点の周りを \(n\) 周する」とすると、円周は \(\displaystyle \frac{1}{n}\) [km] となるので…👇

earth

東へ1km進む際の円の半径を \(r\) [km]とすると、円周は \(\displaystyle \frac{1}{n}\) [km] なので、

$$2\pi r = \frac{1}{n}$$

という式が成り立ちます。
よって、
$$r = \frac{1}{2n \pi}$$
となります。

つまり、南極点から北へ \(\displaystyle 1+\frac{1}{2n \pi}\) [km]進んだ地点となります。

答えを図に表すと…

earth

このように、南極点の周りは答えが無限にあるということです。

まとめ:答え

いかがでしたでしょうか。

今回の記事をまとめると、次のようになります。

南へ1km、東へ1km、北へ1kmずつ進み、元の場所に戻るのは、

  • 北極点
  • 南極点から北へ \(\displaystyle 1+\frac{1}{2n \pi}\) [km] 進んだ地点 ( \(n\) は自然数)

北極点は思いつきやすいですが、南極点の周りの点を思いつくのはとても難しいですね。
もし初見でこれを見つけられたら、かなり柔らかい頭の持ち主だと思います。

最後まで読んでいただき、ありがとうございました。

質問やご意見、ご感想などがあればコメント欄にお願いします👇

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