【教師の統計学】平均って何?どんな意味があるの?

教師の統計学

こんにちは。福田泰裕です。

テストを実施すると、「平均点」を計算しますよね?

クラスの平均が高ければ嬉しいけど、自分の作ったテストの平均だと高すぎても低すぎても不安になってくる…
生徒たちも、自分のテストの点数が平均点より高ければ喜び、低ければ悲しむ…

教師も生徒も、平均点をとても気にしながら過ごしています。

しかし、「平均点って、一体何なのでしょうか?」

この記事では、平均の意味についてお話します。

最後まで読んでいただけると嬉しいです。

平均の計算方法

平均点は、次のようにして求められます。

\(n\) 人のクラスでテストを行い、点数が$$x_1, x_2, x_3 , \cdots , x_n$$であった。
このテストの平均点 \(\bar{x}\) は、$$\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + x_3 + \cdots + x_n}{n}$$である。

簡単に言えば、

(平均点) = (合計点) ÷ (人数)

です。

このことは、ほとんどの人がご存じであると思います。

平均点とは、代表値の一つ

上の計算方法は誰でも知っているのに、

平均点って、どういう意味の点なの?

と聞かれると、ほとんどの人が答えられません。

真ん中の点数です。

と言う人がいいますが、真ん中というのは曖昧すぎます。
100点満点のテストを50人が受けたとき、真ん中とは何ですか?

上位から25番目の人のことですか?
50点を取った人のことですか?

『真ん中』では、曖昧すぎて答えになっていません。

代表値とは?

例えば10人クラスである1組と2組でテストを行い、次のような結果だったとします。

さて2つのクラスを比べるとき、どのようにして比べるのが良いでしょうか?

10人ずつの点数を眺めていても、比べようがありません。
そのため、それぞれのクラスの出来具合を表す数値が必要になります。

それが代表値というものです。

統計学には様々な代表値がありますが、今回は平均値を見ていきます。

ある基準点からのズレを考える

さて、クラスを代表する値を決めなくてはなりません。

そのクラスの代表となる基準点を適当に考えて、その基準点からのズレを考えてみましょう。
例えば、1組の基準点を5点にすると…👇

それぞれの基準点との差はこのようになり、すべて合計すると+10となります。

これだと、

私たちはもっと点を取っているのに!
基準点が5点なんて低い!

と生徒たちに怒られそうです。

ズレの合計が0になる基準点が『平均点』

それでは、このズレの合計が0になる点を見つけていきましょう。

基準点を \(x_0\) として、この基準点 \(x_0\) との差の合計が 0 だとします。

すると、次のようになります👇

基準点 \(x_0\) との差の合計が 0 なので、

\((10-x_0)+(8-x_0)+(7-x_0)+(7-x_0)+(7-x_0)+\)
 \((5-x_0)+(5-x_0)+(4-x_0)+(4-x_0)+(3-x_0)=0\)

という式が成り立ちます。
これを計算すると…👇

\begin{eqnarray}
(10+8+7+7+7+5+5+4+4+3)-10x_0 &=& 0 \\
(10+8+7+7+7+5+5+4+4+3) &=& 10x_0\\
x_0 = \frac{10+8+7+7+7+5+5+4+4+3}{10} \\
x_0 = 6.0 \\
\end{eqnarray}

最後にできた分数の分子はテストの合計点、分母は人数なので、これぞまさに平均点を求める計算になっています!

つまり平均点とは、ズレの合計が0になる基準点だったのです!

平均値との差を「偏差」という

この記事では「基準点との差」を見て、差の合計が0になるように考えてきました。

そして平均値が求まったとき、平均値との差を「偏差」といいます。
(偏差) = (自分の点数) – (平均値) で求めることができます。

平均が75点のテストで80点取った!

という生徒は、偏差が「+5」ということです。

先ほどの1組で見てみると、それぞれの生徒の偏差は次のようになります👇

注意すべきは、偏差の合計は必ず0ということです。
なぜかと聞かれても、平均値とはそういう値だからと答えるしかありません。

まとめ:平均値は全員の点数から算出される代表値

いかがでしたでしょうか。

集団の得点分布を表すための代表値には様々なものがありますが、平均値が最も有名で、最も多く使われています。
その理由は、平均値は全員の点数から算出されるからだと思います。

例えば最高点はクラスの1人の点数、中央値もクラスで1人の点数か2人の点数の平均…のように、他の代表値はクラスの代表者の点数です。
しかし、平均値はクラス全員の点数の合計を人数で割るため、全員の点数が反映されます
そのため、クラス全体の得点状況を最も分かりやすく示すことのできる代表値として親しまれているのでしょう。

これまで何となく平均点を計算し、他のクラスと比べて一喜一憂されていた方々はこれを機に平均の意味を知ってもらえると嬉しいです。

最後まで読んでいただき、ありがとうございました!

質問やご意見、ご感想などがあればコメント欄にお願いします👇

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