【『情報Ⅰ』解説動画】2-(5)2進数と10進数の基数変換(整数)

情報Ⅰ

こんにちは。福田泰裕です。

この記事では、高等学校で履修する『情報Ⅰ』第2章「コミュニケーションと情報デザイン」より、「(5) 2進数と10進数の基数変換(整数)」について解説していきます。

最後まで読んでいただけると、嬉しいです!

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『情報Ⅰ』解説動画 (Youtube)

この記事の内容は、私がYoutubeに公開している『情報Ⅰ授業動画②-(5)』を文字起こししたものです。

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【情報Ⅰ解説】2-(5)2進数と10進数の基数変換(整数)

【情報Ⅰ解説動画2-(5)①】普段使っているのは『10進数』

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まず、私たちが普段使っている「1、2、3……」と数えて、10番目で位が上がる数え方『10進数』といいます。

そして『一の位、十の位、百の位……』を使って数を表現する方法を『位取り記数法』といいます。

【情報Ⅰ解説動画2-(5)②】10進数の意味を考えよう

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そして、この『位取り記数法』では『一の位、十の位、百の位……』がそれぞれ何個ずつあるのか、というようにして数を表しています。

例えば『345』という表記がどういう意味を持つのか、改めて考えてみましょう。

345は、『百の位が3』、『十の位が4』、『一の位が5』です。
これは、『100が3個』、『10が4個』、『1が5個ある』、ということを意味しています。

縦に掛け算すると、それぞれの位は『300』、『40』、『5』を意味しているので、これを横に合計して『345』という数を表現しています。

私たちの頭の中では、自然とこのような計算をして『345』という数を読み取っているのです。

【情報Ⅰ解説動画2-(5)③】10進数の『十の位、一の位』とは?

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このように私たちは、一の位、十の位、百の位が何個あるのか、というようにして、数を表記しています。
この10進数による表記では、使う数字は0から9までの10種類です。
また「1が10個集まって10」、「10が10個集まって100」というように、1桁上がるごとに桁の重みは10倍になります。
このように桁の重みが10倍になるとき『基数が10である』と言います。

【情報Ⅰ解説動画2-(5)④】2番目で位が上がるのが『2進数』

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次に『2進数』という数の表し方を考えていきます。

2進数とは、2番目で位が上がる数え方です。
つまり、「1」の次は位が上がって2桁での表記になります。

ただし、これでは10進数の「10」と区別がつかないので、2進数であることを表すために数字の最後に『(2)』と付けます

2進数の場合は、これを「じゅう」とは読まず「イチゼロ」と数字を左から順に読みます。

【情報Ⅰ解説動画2-(5)⑤】2進数の位は?

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そしてコンピュータ内部では、この2進数が使われています。

2進数は、使う数は0と1の2種類で、「1が2つ集まって2の位」、「2が2つ集まって4の位」、「4が2つ集まって8の位」……というように、1桁上がるごとに桁の重みは2倍になります。

つまり『基数が2である』ということです。

【情報Ⅰ解説動画2-(5)⑥】2進数→10進数の基数変換

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2進数の位取り記数法による表記では、この「1の位、2の位、4の位……がそれぞれ何個ずつあるのか」を表します。
2進数では「千百一」とは読まず、「イチイチゼロイチ」と読みます。

それでは、この「1101(2)」を10進数に直すといくらになるのかを考えてみましょう。

まず、この「1101(2)」を『8の位、4の位、2の位、1の位』の箱に入れていきます。
そして、『8、4、2、1の位』がそれぞれ『1個、1個、0個、1個』ずつあるので、縦に掛け算をして、横に足します
すると「13」となって、「1101(2)」を10進数に変換することができました。

このように「縦に掛けて、横に足す」という手順を踏むことで、2進数から10進数への基数変換を行うことができます。

【情報Ⅰ解説動画2-(5)⑦】2進数→10進数の基数変換の練習1

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それでは、2進数から10進数への基数変換の練習問題です。

練習1「1011(2) を、10進数で表せ。」

ここでいったん動画を止めて、まずは自分で考えてみてください。
それでは、解説していきます。

まず「1011(2)」を、『8の位、4の位、2の位、1の位』の箱に入れます。

これを縦に掛けて、横に足すと「11」となり、10進数に変換することができました。

【情報Ⅰ解説動画2-(5)⑧】2進数→10進数の基数変換の練習2

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続いて、練習2「11100(2) を、10進数で表せ。」

それでは、いったん動画を止めて、まずは自分で考えてみてください。
では、答え合わせをしていきます。

今回は5桁の2進数です。
2進数は1桁上がると桁の重みが2倍になるので、8の位の1つ上は2倍して『16の位』となります。

「11100(2)」を、『16の位、8の位、4の位、2の位、1の位』の箱に入れます。
これを縦に掛けて、横に足すと「28」となりました。

このように、何桁の2進数であっても、箱に入れて、縦に掛けて、横に足すことで、10進数に基数変換することができます。

【情報Ⅰ解説動画2-(5)⑨】10進数 → 2進数の基数変換

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次は、逆に、10進数から2進数への基数変換を行いましょう。
まず、10進数の「345」について考えてみましょう。

345を10で割ると、34 余り 5。
次に、34を10で割ると、3 余り 4。
この計算結果を下からたどると『3 → 4 → 5』が順に表れます。

この計算を簡略化すると、右のように書くこともできます。
余りを右に書いて、最後に下からたどると『3 → 4 → 5』が表れます。

このように、10で割った余りを書き並べると、10進数の各位の数が表れるのです。

【情報Ⅰ解説動画2-(5)⑩】10進数 → 2進数の基数変換

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この考えを利用して、10進数を2進数に基数変換していきましょう。

2進数に基数変換するためには、2で割った余りを順に書き並べていきます。
ここでは『13』を、2進数に基数変換してみましょう。

\(13 \div 2 = 6 \cdots 1\)
\(6 \div 2 = 3 \cdots 0\)
\(3 \div 2 = 1 \cdots 1\)

そして、商が1になったところで、割り算は終了です。
下からたどると、『1 → 1 → 0 → 1』となり、2進数に基数変換できました。

この計算を簡略化すると、右のように書くことができます。

繰り返し2で割っていくと、いつか必ず商が1になります
商が1になったら割り算を終了し、下からたどれば2進数に基数変換できます。

【情報Ⅰ解説動画2-(5)⑪】10進数 → 2進数の基数変換の練習1

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それでは、10進数から2進数への基数変換の練習問題です。
練習1「20を、2進数で表せ。」

一旦動画を止めて、自分で考えてみてください。
それでは、解説します。

20を2で割りながら、その余りを書き並べていきます。

\(20 \div 2 = 10 \cdots 0\)
\(10 \div 2 = 5 \cdots 0\)
\(5 \div 2 = 2 \cdots 1\)
\(2 \div 2 = 1 \cdots 0\)

商が1になったので、下からたどると『10100(2)』となります。

【情報Ⅰ解説動画2-(5)⑫】10進数 → 2進数の基数変換の練習2

情報Ⅰ解説動画

練習2「25を、2進数で表せ。」

一旦動画を止めて、自分で考えてみてください。
それでは、解説をします。

\(25 \div 2 = 12 \cdots 1\)
\(12 \div 2 = 6 \cdots 0\)
\(6 \div 2 = 3 \cdots 0\)
\(3 \div 2 = 1 \cdots 1\)

商が1になったので、下からたどると『11001(2)』となります。

このように10進数の数は、2で割った余りを書き並べ、商が1になったら下から読むことで、10進数に基数変換することができます。

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